DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER

ÜSLÜ İFADELER (ÜSLÜ SAYILAR)

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımı kısaca üslü sayı denir.

Üs, bir sayının sağ üst köşesine yazılır.[SPOT 1 ]

Bir doğal sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı üslü ifade olarak  aⁿ  biçiminde yazılır. Burada a’ya taban, n’ye üs denir.

ÖRNEK: 5×5 = 25 işlemindeki 5 sayısı 2 kez yan yana yazılarak çarpılmıştır.

Bu durum şu şekilde de ifade edilebilir: 5×5 = 5²

• Buradaki 5² “beş üssü iki” veya “beşin karesi” şeklinde okunabilir.

ÖRNEK: 5x5x5 ifadesi üslü biçimde 5³ olarak yazılır.

5³ = 5x5x5 = 25×5 = 125 (Önce ilk iki 5’i çarparız, çıkan sonucu yine 5 ile çarparız)

• Buradaki 5³ “beş üssü üç” veya “beşin küpü” şeklinde okunabilir.

ÖRNEK: 2x2x2x2 ifadesinin üslü biçimde yazıp ifadenin değerini bulalım.

Burada 2 sayısı 4 kez yan yana çarpım biçiminde yazılmıştır. Bu ifade üslü olarak:

 2x2x2x2 = 2⁴ biçiminde yazılır.

• Buradaki 2⁴ “iki üssü dört” veya “ikinin dördüncü kuvveti” şeklinde okunur.

Bu ifadenin değerini bulacak olursak:

2x2x2x2 = 4x2x2 = 4×4 = 16

• Çarpma işlemi x sembolü yerine ’’ . ‘’ sembolü ile de gösterilebilir. [SPOT 2 ]

• 1’in tüm kuvvetleri 1’e eşittir. [SPOT 3 ]

1³ = 1.1.1 = 1

1⁵ = 1.1.1.1.1 = 1

1¹ = 1

• Üssü 1 olan doğal sayının değeri, bu sayının kendisine eşittir. [SPOT 4 ]

7¹ = 7

2¹ = 2

1¹=1

• 10’un kuvvetlerinin değerinde üsteki sayı kadar sıfır bulunur. [SPOT 5 ]

10 . 10 = 10² = 100 ( 2  tane sıfır var. )

10 . 10 . 10 = 10³ = 1000 ( 3  tane sıfır var.)

10 . 10 . 10 . 10 = 10⁴ = 10000 ( 4  tane sıfır var.)

10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 10⁵ = 100000 ( 5 tane sıfır var.)

10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 10⁶ = 1000000 ( 6 tane sıfır var.)

İŞLEM ÖNCELİĞİ

İşlem önceliği veya işlem sırası birden fazla işlem olduğu durumlarda takip etmemiz gereken sıradır.

Bu sıralamayı bilmek ve bu sıralamaya uymak çok önemlidir. Çünkü işlemler bu sıralamaya göre yapılmazsa büyük ihtimalle sonuç yanlış olacaktır. Birden fazla işlem olduğu durumlarda işlemler şu sıraya göre yapılır:

İŞLEM SIRASI

→ Üs alma işlemleri

→ Parantez içindeki işlemler

→ Çarpma veya Bölme İşlemi

→ Toplama veya Çıkarma İşlemi [SPOT 6 ]

                                    BU ALİ ÇÖP ALİ

                         ALİ GİBİ OL

                     İŞLEM SIRASINA UY                      

• Eğer aynı önceliğe sahip işlemler varsa (Örneğin; bir işlemde hem çarpma hem de bölme varsa) işlemler soldan sağa doğru yapılır. [SPOT 7 ]

ÖRNEK: 3 x ( 2 + 3 ) işleminin sonucunu bulalım.

Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.

3 x ( 5 ) = 15 cevabı bulunur.

ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 + 2 ) işleminin sonucunu bulalım.

Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.

Ancak parantez içinde hem toplama hem çarpma işlemi var.

Bu yüzden önce çarpmayı yaparız.

3 + ( 2 x 3 + 2 )

= 3 + ( 6 + 2 )

= 3 + 8 = 11

ÖRNEK:  3 + ( 2 x 3 : 2 ) işleminin sonucunu bulalım.

Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.

Ancak parantez içinde hem çarpma hem bölme işlemi var.

Bu yüzden önce soldakini yani çarpmayı yaparız.

3 + ( 2 x 3 : 2 )

=3 + ( 6 : 2 )

=3 + 3 = 6

ÖRNEK : 2 x 2³ + 1 işleminin sonucunu bulalım.

Önce üs alma işlemi yapılır.

= 2 x 8 + 1

Daha sonra çarpma ve toplama işleminden çarpma öncelikli yapılır.

=16 + 1 = 17

ÖRNEK: 120 ÷ 2² + 3 . (12 – 7) işleminin sonucunu bulalım.

= 120 ÷ 4 + 3 . (12 – 7)

= 120 ÷ 4 + 3 . (5)

= 30 + 15 = 45

 DAĞILMA ÖZELLİĞİ VE ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Çarpma işleminin dağılma özelliğini ve ortak çarpan parantezine almayı kullanmak işlemlerde kolaylık sağlar.

1)DAĞILMA ÖZELLİĞİ

• ÇARPMANIN TOPLAMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Bir doğal sayıyı toplam biçimindeki doğal sayılarla çarparken, bu doğal sayı ile toplam biçimindeki her terim ile ayrı ayrı çarpılır ve daha sonra bu çarpımlar toplanır. Buna çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği denir.

ÖRNEK: 3 x ( 14 + 5 ) işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım.

Çarpım durumundaki 3’ü önce 14 ile sonra 5 ile çarparız ve daha sonra bu sonuçları toplarız.

3 x ( 14 + 5 ) = ( 3 x 14 ) + ( 3 x 5 ) = 42 + 15 = 57

ÖRNEK: 8 x 101 işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım.

(Bu örnekte dağılma özelliğinin işlemlerde kolaylık sağladığını daha rahat görebilirsiniz.)

8 x 101 = 8 x ( 100 + 1 ) = ( 8 x 100 ) + ( 8 x 1 ) = 800 + 8 = 808

• ÇARPMANIN ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Bir doğal sayıyı farkı alınan iki doğal sayı ile çarparken, bu doğal sayı ile çıkarma işlemindeki her terim ile ayrı ayrı çarpılır ve daha sonra bu çarpımlar birbirinden çıkarılır. Buna çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği denir.

 ÖRNEK: 7 x ( 20 – 3 ) işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım.

Çarpım durumundaki 7’yi önce 20 ile sonra 3 ile çarparız ve daha sonra bu sonuçları birbirinden çıkartırız.

7 x ( 20 – 3 ) = ( 7 x 20 ) – ( 7 x 3 ) = 140 – 21 = 119

ÖRNEK: 6 x 98 işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım.

(Bu örnekte dağılma özelliğinin işlemlerde kolaylık sağladığını daha rahat görebilirsiniz.)

6 x 98 = 6 x ( 100 – 2 ) = ( 6 x 100 ) – ( 6 x 2 ) = 600 – 12 = 588

2)ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Ortak çarpanı olan iki çarpma işlemini toplanması veya çıkarılması işleminde bu iki çarpmadaki ortak çarpanı parantezin dışına alarak önce toplama veya çıkarma işlemini yapabiliriz. Daha sonra çarpma işlemini yaparız. Yaptığımız bu işleme ortak çarpan parantezine alma deriz.

ÖRNEK: 8 x 21 + 8 x 9 işlemini ortak çarpan parantezine alarak yapalım.

Ortak çarpan parantezine almadan yapacak olsaydık 8 ile 21’i çarpacaktık, daha sonra 8 ile 9’u çarpıp bu sonuçları toplayacaktık.

8 x 21 = 168

8 x 9 = 72

168 + 72 = 240

Şimdi ise ortak çarpan parantezine alarak soruyu çözelim.

Burada iki çarpma işleminde 8 çarpanı bulunduğu için bu 8’i parantezin dışına çarpım olarak yazarız. Parantezin içine ise 21 + 9 yazarız. Önce toplamayı sonra da çarpmayı yaparız.

8 x 21 + 8 x 9

= 8 x ( 21 + 9 )

= 8 x 30 = 240

ÖRNEK: Eni 90 cm boyu 260 cm olan bir halının boyundan 160 cm kesildiğinde geriye kalan parçanın alanını bulalım.

Halının başlangıçtaki alanı = 90 x 260

Kesilen parçanın alanı = 90 x 160

Kalan parçanın alanı = 90 x 260 – 90 x 160

90 x ( 260 – 160 ) = 90 x 100 = 9000 cm²‘dir.